ナイトの不確実性の内容
2019.02.02
前に書いたブログ（経済学における歴史の位置づけ、2019.01.12）でフランク･ナイトの不確実性について触れたところ､ナイトの言うエスティメーツ（確率分布などで説明できない本来の不確実性）はどのようなものか、と質問を受けた。この点に関して触れてみたい。
・その一例が、ジップ（Zipf）の法則だ。彼は様々な場合にべき乗則がなりたつことを見いだした。たとえば所得分布、英文における単語の頻度、都市の人口分布などである。それに数学的解明を加えたのがマンデルブロである。彼はフラクタルの発見者として有名な数学者だ。
・確率分布には安定分布（stable distribution）という範疇がある。その形状はパラメータαによって規定される。たとえば正規分布もその中に含まれる(パラメータα=2)。ところが0<α<2の時には、その分散は無限大になることが知られている。ジップの見いだしたべき乗分布はまさにこれに該当する（レヴイ分布）。
・そうするとどうなるか。たとえば信頼区間の計算を思い出してみよう。今正規分布を仮定して95％信頼区間を求めると、以下の式のようになる。
xの標本平均-1.96*(σ^2/n)<=μ<=xの標本平均+1.96*(σ^2/n)
μ＝母集団の平均、σ^2＝母集団の分散
・ここで分散が無限大であるとしたらどうなるだろう。信頼区間も無限大になってしまい、有意な統計解析ができなくなってしまう。つまり分散が無限大であるとすると、いわゆる統計的手法が役に立たなくなってしまう。これを見いだしたのが、マンデルブロだ（最初は綿花価格の動きの分析からだ）。ちなみに邦訳の出ている彼の著作、The [mis]behavior of Marketsは実に良い本だと思う。この本はジャーナリストのハドソンとの共著のためわかりやすい。特に第4,5章は今の金融テク（CAPM、ブラックショールズ公式など）に関する優れた解説となっている。いかんせん邦訳のタイトルが悪い。これではなにかVシネマの解説かと思ってしまう。
・実はこの問題は地震予測にもつながる。ゲラー東大名誉教授が書いているように、地震予測も基本的に不可能である。それは「カオス的な過程だからだ」（ゲラー書,P115）。カオスとべき乗分布の関連に関しては、別項で触れたい（例：カウフマン、P362）。
・ひとつ指摘しておきたいのは、哲学者の市井三郎がこの問題にすでに1970年初頭に気づいていたことだ（市井、哲学的分析）。歴史の流れとこの問題が実は交点を持つことになる。つまりナイトの言う根源的不確実性が、歴史の転換点の母体となる。
（参考）
・Mandelbrot B.,Fractals and Scaling in Finance,Springer,1997
Part IV:The 1963 Model of Price Change.
・Mandelbrot B. and Hudson R.,The [mis]behavior of Markets
Basic Books,2004
(邦訳）ベノア・マンデルブロ､リチャード･ハドソン、「禁断の市場」
高安秀樹監訳、雨宮絵理他訳、東洋経済、2008
・ロバート･ゲラー、日本人は知らない『地震予測』の正体、双葉社、2011
・室田泰弘、「予測の不確実性について」、日本経済研究,No.4,1975